Grupoid dan Hukum Pencoretan

GRUPOID

Definisi:

Suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner, disebut grupoid.

Contoh:

·               Himpunan bilangan asli N dengan operasi + biasa.

·               Himpunan bilangan riil dengan operasi x biasa.

Definisi:

[G,*] adalah grupoid dan e elemen G. elemen e disebut unsur kesatuan kiri, jika e*x=x, "x elemen G.

Definisi:

[G,*] adalah grupoid dan f elemen G. Elemen f disebut unsur kesatuan kanan, jika x*f=x, "x elemen G.

Catatan:

Dapat terjadi suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kiri lebih dari sebuah, unsur kesatuan kanan lebih dari sebuah, atau bahkan tidak memiliki unsur kesatuan kiri ataupun kanan.

Definisi:

Suatu grupoid [G,*] disebut komutatif jika x*y=y*x, "x,y elemen G.

Contoh-contoh:

·               [N,+] adalah grupoid komutatif tanpa unsur kesatuan.

·               [N, x] adalah grupoid komutatif dengan unsur kesatuan= 1.

·               Himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks adalah grupoid yang tidak komutatif. Apakah unsur kesatuannya?

Teorema:

Jika suatu grupoid G memiliki unsur kesatuan kiri e dan unsur kesatuan kanan f, maka e = f dan G hanya memiliki satu unsur kesatuan saja, yang bertindak sebagai unsur kesatuan kiri dan kanan.

HUKUM PENCORETAN

Hukum Pencoretan

Definisi:

• Sebuah grupoid G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika ab=ac mengakibatkan b=c.

• Suatu grupoid G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika ba=ca mengakibatkan b=c.

Catatan:

Untuk grupoid komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti memenuhi hukum pencoretan kanan (mengapa?)

Contoh-contoh:

• Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus.

• Himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks tidak memenuhi hukum pencoretan kiri, dan tidak memenuhi hukum pencoretan kanan. Mengapa?

Hukum Pencoretan dan Daftar Cayley

Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley memenuhi hukum pencoretan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam daftar tersebut memuat unsur yang semuanya berbeda.

Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley memenuhi hukum pencoretan kanan jika dan hanya jika setiap kolom dalam daftar tersebut memuat unsur-unsur yang semuanya berbeda.