Materi Kuliah : Pencerminan (refleksi)

Definisi : Pencerminan

Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang ditetapkan untuk setiap titik P pada bidang Euclid V sebagai berikut:

  

 i.  Jika P s maka Ms (P) = P.

 ii. Jika P s maka Ms (P) = Q sehingga s merupakan sumbu dari garis PQ.                              .

 

Selanjutnya s disebut sumbu refleksi Ms dan Ms merupakan sumbu

pencerminan.

Teorema 1.1 : Pencerminan pada garis adalah suatu transformasi .

Teorema 1.2 : Pencerminan pada garis adalah suatu isometri .

Pembuktian teorema 1.1 : pencerminan pada garis adalah suatu transformasi

Ambil sebarang pencerminan, misalkan Ms 

a. Ms suatu fungsi dari V ke V (bidang Euclid)

Berdasarkan definisi diatas,jelas bahwa domain dari Ms adalah V. Daerah hasil dari Ms juga pada V, sebab apabila kita mengambil X Є V, X Є s atau X bukan elemen s. Untuk X Є s, Ms(x) = X Є V. Untuk X bukan elemen s,Ms(x) = y, dimana s sumbu dari garis xy , artinya garis yx subset dari V, sehingga y Є V, artinya adalah bidang V juga. Jadi Ms suatu fungsi dari V ke V .

b. Suatu fungsi surjektif 

Ambil y Є V, artinya y Є s atau y bukan elemen s. Untuk y Є s, prapeta x = y sehingga Ms(x)= y. Untuk y bukan elemen s, ada x ЄV sehingga s merupakan sumbu dari garis xy . Hal ini berarti bahwa Ms(x)=y. Artinya y mempunyai prapeta yaitu x. Karena setiap y V selalu mempunyai prapeta anggota V, maka Ms merupakan fungsi surjektif.

c. Ms suatu fungsi injektif 

Ambil dua titik sebarang A,B Є V sehingga Ms (A) = Ms (B). Misalkan C = Ms (A) = Ms (B), artinya C Є s atau C bukan elemen s. Untuk C Є s, maka A,B Є s. Akiatnya Ms (A) = A, Ms (B) = B, jadi A = B. Untuk C Є s, s sumbu dari AC dan BC. Akibatnya A = B. Karena untuk setiap pasangan A ,B Є V sehingga Ms (A) = Ms (B) mengakibatkan A = B, maka Ms suatu fungsi injektif.

Karena Ms suatu fungsi dari V ke V dan bijektif, maka Ms suatu transformasi. Disamping teorema itu suatu pencerminan pada garis mengawetkan jarak (jarak tidak berubah) maka disebut isometri.